عنوان الموضوع : قوانين عن التكامل لمادة الرياضيات !!
مقدم من طرف منتديات بيت الامارات النسائي


قوانين عن التكامل لمادة الرياضيات !!
م
الدرس الأول : الدوال الأصلي
تعريف :
لتكن د دالة معرفة على الفترة ف خ ح كل دالة ل تحقق العلاقة :
لَ { س } = د { س } لكل س ي ف .
تسمى دالة أصلية أو { معكوس المشتقة } للدالة د على ف .



ملاحظة : سنرمز للدالة الأصلية بالرمز : ل{ س } .
مثال : الدالة الأصلية د { س } = س# - 7 ، دالتها المشتقة هي : دَ { س } = 3 س@ .
مثال :إذا كانت د { س } = 5 س$ فإن الدالة الأصلية للدالة د { س } هي :
ل { س } = س% + ث .
حيث ل { س } : الدالة الأصلية للدالة د { س } .
ويرمز لها بالرمز : ت د { س }ء س
وتقرأ : تكامل الدالة د { س } بالنسبة للمتغير س .
وتكتب على الصورة :
ت د { س }ء س = ل { س } + ث
حيث ل { س } : الدالة الأصلية للدالة د { س } ، ث : ثابت التكامل .
وهذا يسمى التكامل غير المحدد .
الدرس الأول : الدوال الأصلية
أهم قاعدتين في التكامل :
س = ا س + ث

ملاحظة
1~يمكن توزيع التكامل على الجمع والطرح
ذ~لا يمكن توزيع التكامل على الضرب والقسمة .
3~ن [ س:م: = { س}م؛نن .

مثال : احسب :
1~تس% ء س = !؛6 س^ + ث
ذ~ ت س@ ء س = !؛3 س# +ث
3~ ت 5 ء س = 5 س + ث
4~ ت س$ + 2 = !؛5 س% + 2 س + ث
5~ ت س# + س@ + س + 7 = !؛4 س$ + !؛3 س# + !؛2 س@ + 7 س + ث .
الدرس الثاني التكامل غير المحدد

سوف يتم دراسة التكامل بطريقة مرتبة نستطيع بواسطتها توحيد التفكير في المسألة حيث سيتم تقسيمها وتصنيفها إلى عدة أقسام وهي كالتالي :

أولاً : تكامل حاصل ضرب دالتين أو أكثر وتكاملها كالتالي :

1لأ نضرب الدوال في بعضها و نكامل :

مثال ( 1 ) : احسب : ت { س + 2 } { 2 س – 3 } ء س
الحل : ت { س + 2 } { 2 س – 3 } ء س = ت { 2 س@ + س – 6 } ء س
= @؛3 س# + !؛2 س@ - 6 س + ث

الدرس الثاني التكامل غير المحدد
يكون التكامل على صورة دالة أس ن في مشتقتها :

ودائماً نفكر في قاعدة دالة في مشتقتها إذا كان التكامل حاصل ضرب دالتين أحدهما داخل القوس أس ن أو تحت الجذر والأخرى مشتقتها .

مثال ( 1 ) : أوجد التكامل التالي وأوجد أكبر فترة يكون التكامل فيها الإجابة صحيحة :
ت { س@ + س + 2 }@ { 2 س + 1 } ء س
الحل :
ت { س@ + س + 2 }@ { 2 س + 1 } ء س = !؛3 { س@ + س + 2 }# + ث
ف = ح .
الدرس الثاني التكامل غير المحدد
3لأ طريقة التعويض : وهي للمسائل التي ليست على الصورتين السابقتين :

ونفكر في طريقة التعويض إذا كان التكامل حاصل ضرب دالتين ولا نستطيع أن نضرب الدالتين في بعض وليست على صورة دالة في مشتقتها فنلجأ إلى طريقة التعويض .
هو استبدال الدالة المعطاة بدالة جديدة في المتغير ص واستبدال ء ص بـ ء س .

ملاحظة : دائماً نفرض ص تساوي القيمة التي تحت الجذر أو داخل القوس أس ن .


مثال: أوجد التكامل التالي :

ت س@ [س /- /2 / ء س
الحل : واضح من شكل الدالة أننا لانستطيع أن نضرب الدالتين في بعض كذلك ليست على صورة دالة في مشتقتها ، فمثل هذه المسائل نستخدم طريقة التعويض .
نفرض : ص = س – 2 ئ س = ص + 2 ئ ء س = ء ص
الآن نعوض بهذه القيم :
ت { ص + 2 }@ × ص !؛2 ء ص = ت { ص@ + 4 ص + 4 } ص !؛2 ء ص
= ت { ص%؛2 + 4 ص#؛2 + 4 ص !؛2 } ء ص
= @؛7 ص&؛2 + *؛5 ص%؛2 + *؛3 ص#؛2 + ث
= @؛7 { س – 2 }&؛2 + *؛5 { س – 2 }%؛2 + *؛3 { س – 2 }#؛2 + ث


الدرس الثاني التكامل غير المحدد

مثال : أوجد التكامل التالي :
ت { س - 2 } #[س /+ /3 / ء س
الحل :
نفرض : ص = س + 3 ئ س = ص - 3 ئ ء س = ء ص
ت { ص – 5 } ص!؛3 ء ص = ت { ص $؛3 – 5 ص!؛3 } ء ص
= #؛7 ص &؛3 - %؛4؛!؛ ص $؛3 + ث
= #؛7 { س + 3 } &؛3 - %؛4!؛ { س + 3 } $؛3 + ث

مثال : أوجد التكامل التالي :
ت س { س + 1 }(!ء س
الحل : واضح من المسألة أنها ليست دالة في مشتقتها فنطبق طريقة التعويض .
نفرض : ص = س + 1 ئ س = ص - 1 ئ ء س = ء ص
ت { ص – 1 } ص(! ء ص = ت ص!! – ص(! ء ص
= !؛2؛ ؛1؛؛؛ ص@! - ؛!1؛ 1؛ ص!! + ث
= !؛2؛ ؛1؛؛؛ { س + 1 }@! - ؛!1؛ 1؛؛؛؛؛ { س + 1 }!! + ث



الدرس الثاني التكامل غير المحدد
ثانياً : تكامل دالة من الدرجة الأولى مرفوعة للقوة ن :

مثال : أوجد التكاملات التالية :
1~ ت { 2س + 1 }$ء س = !؛8 { 2س + 1 }% + ث
2~ ت { 3 س – 8 }_%ء س = - ؛!2؛؛؛؛؛؛؛1؛ { 3 س – 8 }_$ + ث
3~ ت { 3 – س }_*ء س = !؛7 { 3 – س }_& + ث
4~ ت [{ 3/س/ -/ 2 /}/ء س = ت { 3 س – 2 }!؛2 ء س = )؛2 { 3 س – 2 } + ث
5~ ت 15 { 4 – 2 س }$ ء س = - #؛2 { 4 – 2 س }% + ث
6~ت{ 8 - !؛4 س }& ء س = - 2 { 8 - !؛4 س }* + ث

مثال : أوجد التكامل التالي : ت س@!{ %؛ سس - %؛ ذسس }^ءس
الحل : ت س@!{ %؛ سس - %؛ ذسس }^ء س = ت أ س@ { %؛ سس - %؛ ذسس } ٍ ^ءس
= ت { 5س - 5 }^ ء س = !؛7 { 5س - 5 }& + ث

مثال :أوجد التكامل التالي : ت س) { 7 - @؛ سس })ء س
الحل :ت س) { 7 - @؛ سس })ء س = ت أ س { 7 - @؛ سس } ٍ ) ء س
= ت { 7 س- ۲}) ء س = ؛!0؛ 1؛؛ { 7 س- ۲}(! + ث



اليكم مخلص


نفع الله به



الملفات المرفقة


>>>>> ردود الأعضـــــــــــــــــــاء على الموضوع <<<<<
==================================

>>>> الرد الأول :

السسلام عليكمـ
يزاج الله خير..
تسسلمين ما قصصرتي




__________________________________________________ __________

>>>> الرد الثاني :

وعليكم السلام
اللهم آمين شكرا لمروركِ




__________________________________________________ __________

>>>> الرد الثالث :

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته...

يزاج ربي الف خير..

ما قصرتي والف شكر,,

تم +++++

موفقين يارب,,






__________________________________________________ __________

>>>> الرد الرابع :

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته...
شكر اجزيلا




__________________________________________________ __________

>>>> الرد الخامس :